Zavarov Alexandr (o Oleksandr, secondo la translitterazione ucraina) è nato a Vorosilovgrad, allora Unione Sovietica, ora Ucraina, il 20 aprile 1961. Cresciuto nel Zorja, il club della sua città, ha vinto una Coppa dell'Unione Sovietica con il Rostov all'età di vent'anni nel 1981, ma la sua carriera ha preso slancio a partire dal 1983, quando è passato alla Dinamo Kiev, all'epoca una delle squadre leader non solo dell'Est ma dell'intero calcio europeo, guidata dall'allenatore Valeriy Lobanovskiy, soprannominato sergente di ferro e fautore di una preparazione fisica meticolosa e del gioco di squadra sopra ogni individualità. Alla Dinamo, Zavarov conquista campionato e coppa sovietica nel 1984-85 e, nella stagione successiva, la Coppa delle Coppe, con un suo gol ad aprire le marcature nel 3-0 finale all'Atletico Madrid.
